Damit GPS funktioniert, muß die relativistische Dilatation der Zeit in die Berechnungen eingehen.
Dazu folgende Einwände:
Das GPS-Verfahren beruht im Endeffekt auf dem Vergleich von vier Zeitwerten jeweils aktuell erfaßter GPS-Signale. Den sechs Differenzwerten entsprechen genau sechs Differenzen der Entfernungen zwischen dem Empfänger, also dem Navigationsgerät, und je zwei Satelliten, z.B.
Distanz ( Sat1 - Navi ) - Distanz ( Sat2 - Navi ).
Jeder Satellit wird über sein Signal identifiziert, d.h. Eigenzeit und Ort sind damit bekannt. Aus den Entfernungsdifferenzen werden die räumlichen Koordinaten des Empfängers unmittelbar berechnet.
Nur Differenzen von Zeiten der Satelliten (mit der gleichen Blauverschiebung) gehen in die Berechnung der Position ein, die im Navigationsgerät stattfindet. In diesen sehr kurzen Zeitspannen spielt eine kumulierende Größe wie die relativistische Zeitverzögerung praktisch keine nennenswerte Rolle.
Es bleiben nurmehr die Satellitenpositionen dem Einfluß der Zeitverzögerung ausgesetzt. Wir nehmen einmal an, die Satelliten bestimmen die Position auf ihrer Bahn mit ihrer Eigenzeit. Geht z.B. die Uhr auf dem Satelliten vor (Blauverschiebung), wird die Position auch "vorgehen". Der Zeitfehler summiert sich über die Zeit und wird immer nur bei der Zeitaktualisierung durch Bodenstationen zurückgesetzt. Er ist allerdings zur Positionsbestimmung nur auf die vergleichsweise geringe Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn anzuwenden. Z.B. geostationäre Umlaufbahn, ein Tag keine Zeitkorrektur, die Position geht um weniger als 0.2 m vor. Die Position des Navigationsgerätes wird davon noch geringer betroffen (Storchenschnabel).
Vollkommen anders wären die Ergebnisse einer Zeitverzögerung bei direkter Verarbeitung der Distanz zwischen Satellit und Navi. Dann kommt man zwar mit nur drei Satellitensignalen aus, aber die Zeitverzögerung auf der Erde gegenüber dem Satelliten wäre auf die Signalgeschwindigkeit anzuwenden. Mit katastrophalen Auswirkungen.
Sollte wirklich irgendwo ein derartiges Navigationssystem Anwendung finden? Oder weshalb haben die Betreiber (und Kenner) des Systems die relativistische Zeitverschiebung dort wirklich eingeführt?




Berechnung des Standortes im GPS
Das GPS-Verfahren beruht im Endeffekt auf dem Vergleich von n > 3 Zeitwerten jeweils aktuell erfaßter GPS-Signale. Es müssen mindestens vier Satellitensignale erfaßt werden, damit die Differenzvektoren der Satellitenpositionen einen 3D-Raum aufspannen können, in dem ja auch der gesuchte Standort Navpos (x,y,z) des Navigationsgerätes liegt.
Den n*(n-1)/2 Differenzwerten der Laufzeiten ΔT entsprechen genau n*(n-1)/2 Differenzen der Entfernungen zwischen dem Empfänger, also dem Navigationsgerät, und je zwei Satelliten (mit 0 < i < k < n+1 und c = Signalgeschwindigkeit). So ergibt sich ein Funktionenvektor mit n*(n-1)/2 Komponenten, der bei Navpos 0 wird:
           0 = f[i,k](x,y,z) = Distanz(Sat[i] - Navpos) - Distanz (Sat[k] - Navpos) - c*ΔT[i,k].
Jeder Satellit wird über sein Signal identifiziert, d.h. Eigenzeit und Ort sind damit bekannt. Aus den Zeitdifferenzen und so gegebenen Entfernungsdifferenzen werden die räumlichen Koordinaten des Empfängers Navpos (x,y,z) mittels 3D-Newton-Iteration unmittelbar berechnet.
Dazu brechen wir die Taylor-Reihenentwicklung der Funktionen f[i,k](x,y,z) nach einem Glied ab und erhalten das System von n*(n-1)/2 Gleichungen:
           f[i,k](x+Δx,y+Δy,z+Δz) = f[i,k](x,y,z) + a*transponiert(Δx,Δy,Δz), wobei
           a = partielle Ableitung f[i,k](x,y,z)( nach x, nach y , nach z).
Vorausgesetzt, (x+Δx,y+Δy,z+Δz) seien die Koordinaten des Zielpunktes, ergibt sich das räumliche Newtonverfahren mit n*(n-1)/2 Gleichungen
           0 = f[i,k](x,y,z) + a*transponiert(Δx,Δy,Δz)   (1)
Sofern die Δt - Werte einem Meßpunkt entsprechen und nicht willkürlich angenommen wurden, ist das Gleichungssystem (1) nicht widersprüchlich.
Es handelt sich um ein n*(n-1)/2 x 3 Gleichungssystem mit kleinen Ungenauigkeiten in der Datenerfassung. Um den Einfluß dieser Ungenauigkeiten möglichst gering zu halten, geht man zweckmäßig zum System (2) über:
           -transponiert(a)*f[i,k](x,y,z) = transponiert(a)*a*transponiert(Δx,Δy,Δz)   (2)
Dies ist ein 3 x 3 System, um in der 3D-Newton-Iteration die jeweils nächsten Δx,y,z-Werte zu bestimmen:
           x(neu) = x + Δx,    y(neu) = y + Δy,    z(neu) = z + Δz.
Bei einem Newtonverfahren kann i.allg. mit quadratischer Konvergenz gerechnet werden. D.h. ein geeigneter Schätzwert führt in wenigen Schritten zum gesuchten Ort des Navigationsgerätes.
Bei älteren Navigationsgeräten werden nur vier Satelliten zur Berechnung der Position benutzt, also n = 4. Dann kann es gelegentlich kurzzeitig vorkommen, daß ein Satellit in die Nähe der Ebene gerät, die durch die übrigen Satelliten aufgespannt wird. Dann sind die Gleichungssysteme (1) und (2) schlecht konditioniert und das Iterationsverfahren liefert "Wald- und Wiesenwerte". Allerdings bewegen sich die Satelliten bereits nach kurzer Zeit in ihren Umlaufebenen wieder in eine deutliche 3D-Position und der Fehler ist beseitigt.
Um die Funktionsweise des beschriebenen Verfahrens für n = 4 auszuprobieren, kann ein Taschenrechner-Programm für den TI92Plus (TI98 bzw. TIVoyage sollten auch funktionieren) benutzt werden. Es arbeitet in zwei Schritten:
1. Berechnung der 6 Zeitdifferenzen zu einer beliebig vorgegebenen Navpos (x,y,z), die Werte x,y und z mit Benennung (z.B. km) eingeben.
2. Vorgabe eines Schätzwertes (x,y,z) für Navpos (Benennung nicht vergessen) und Start der Iteration. Nach wenigen Schritten sollte i.allg. der ursprünglich gegebene Positionswert wieder erreicht sein.
Schritt 2 kann mehrmals zu einem Vorgabewert wiederholt werden, um die Konvergenzgeschwindigkeit bei unterschiedlichen Schätzwerten zu beurteilen.
Da das Programm im Quelltext vorliegt, können auch andere Bedingungen variiert werden, z.B. die Position der Satelliten.