Damit GPS funktioniert, muß die relativistische Dilatation der
Zeit in die Berechnungen eingehen.
Dazu folgende Einwände:
Das GPS-Verfahren beruht im Endeffekt auf dem Vergleich von vier Zeitwerten
jeweils aktuell erfaßter GPS-Signale. Den sechs Differenzwerten
entsprechen genau sechs Differenzen der Entfernungen zwischen dem
Empfänger, also dem Navigationsgerät, und je zwei Satelliten, z.B.
Distanz ( Sat1 - Navi ) - Distanz ( Sat2 - Navi ).
Jeder Satellit wird
über sein Signal identifiziert, d.h. Eigenzeit und Ort sind damit bekannt.
Aus den Entfernungsdifferenzen werden die räumlichen Koordinaten des
Empfängers unmittelbar berechnet.
Nur Differenzen von Zeiten der Satelliten (mit der gleichen
Blauverschiebung) gehen in die Berechnung der Position ein, die im
Navigationsgerät stattfindet. In diesen sehr kurzen Zeitspannen spielt
eine kumulierende Größe wie die relativistische Zeitverzögerung
praktisch keine nennenswerte Rolle.
Es bleiben nurmehr die Satellitenpositionen dem Einfluß der
Zeitverzögerung ausgesetzt. Wir nehmen einmal an, die Satelliten
bestimmen die Position auf ihrer Bahn mit ihrer Eigenzeit. Geht z.B. die Uhr
auf dem Satelliten vor (Blauverschiebung), wird die Position auch "vorgehen".
Der Zeitfehler summiert sich über die Zeit und wird immer nur bei der
Zeitaktualisierung durch Bodenstationen zurückgesetzt. Er ist allerdings
zur Positionsbestimmung nur auf die vergleichsweise geringe Geschwindigkeit auf
der Umlaufbahn anzuwenden. Z.B. geostationäre Umlaufbahn, ein Tag keine
Zeitkorrektur, die Position geht um weniger als 0.2 m vor. Die Position des
Navigationsgerätes wird davon noch geringer betroffen (Storchenschnabel).
Vollkommen anders wären die Ergebnisse einer Zeitverzögerung
bei direkter Verarbeitung der Distanz zwischen Satellit und Navi. Dann
kommt man zwar mit nur drei Satellitensignalen aus, aber die
Zeitverzögerung auf der Erde gegenüber dem Satelliten wäre auf
die Signalgeschwindigkeit anzuwenden. Mit katastrophalen Auswirkungen.
Sollte wirklich irgendwo ein derartiges Navigationssystem Anwendung finden?
Oder weshalb haben die Betreiber (und Kenner) des Systems die relativistische
Zeitverschiebung dort wirklich eingeführt?
Berechnung des Standortes im GPS
Das GPS-Verfahren beruht im Endeffekt auf dem Vergleich von n
> 3 Zeitwerten jeweils aktuell erfaßter GPS-Signale. Es müssen
mindestens vier Satellitensignale erfaßt werden, damit die
Differenzvektoren der Satellitenpositionen einen 3D-Raum aufspannen
können, in dem ja auch der gesuchte Standort Navpos (x,y,z) des
Navigationsgerätes liegt.
Den n*(n-1)/2 Differenzwerten der Laufzeiten ΔT entsprechen genau
n*(n-1)/2 Differenzen der Entfernungen zwischen dem Empfänger, also dem
Navigationsgerät, und je zwei Satelliten (mit 0 < i < k < n+1
und c = Signalgeschwindigkeit). So ergibt sich ein Funktionenvektor mit
n*(n-1)/2 Komponenten, der bei Navpos 0 wird:
0 = f[i,k](x,y,z) = Distanz(Sat[i] - Navpos) - Distanz (Sat[k] - Navpos) - c*ΔT[i,k].
Jeder Satellit wird
über sein Signal identifiziert, d.h. Eigenzeit und Ort sind damit
bekannt. Aus den Zeitdifferenzen und so gegebenen Entfernungsdifferenzen
werden die räumlichen Koordinaten des Empfängers Navpos (x,y,z) mittels
3D-Newton-Iteration unmittelbar berechnet.
Dazu brechen wir die Taylor-Reihenentwicklung der Funktionen
f[i,k](x,y,z) nach einem Glied ab und erhalten das System von n*(n-1)/2
Gleichungen:
f[i,k](x+Δx,y+Δy,z+Δz) = f[i,k](x,y,z) + a*transponiert(Δx,Δy,Δz), wobei
a = partielle Ableitung f[i,k](x,y,z)( nach x, nach y , nach z).
Vorausgesetzt, (x+Δx,y+Δy,z+Δz) seien die Koordinaten des Zielpunktes,
ergibt sich das räumliche Newtonverfahren mit n*(n-1)/2 Gleichungen
0 = f[i,k](x,y,z) + a*transponiert(Δx,Δy,Δz) (1)
Sofern die Δt - Werte einem Meßpunkt entsprechen und nicht
willkürlich angenommen wurden, ist das Gleichungssystem (1) nicht
widersprüchlich.
Es handelt sich um ein n*(n-1)/2 x 3 Gleichungssystem mit
kleinen Ungenauigkeiten in der Datenerfassung. Um den Einfluß dieser
Ungenauigkeiten möglichst gering zu halten, geht man zweckmäßig zum
System (2) über:
-transponiert(a)*f[i,k](x,y,z) = transponiert(a)*a*transponiert(Δx,Δy,Δz) (2)
Dies ist ein 3 x 3 System, um in der 3D-Newton-Iteration die jeweils nächsten Δx,y,z-Werte zu bestimmen:
x(neu) = x + Δx, y(neu) = y + Δy, z(neu) = z + Δz.
Bei einem Newtonverfahren kann i.allg. mit quadratischer Konvergenz
gerechnet werden. D.h. ein geeigneter Schätzwert führt in wenigen
Schritten zum gesuchten Ort des Navigationsgerätes.
Bei älteren Navigationsgeräten werden nur vier Satelliten zur
Berechnung der Position benutzt, also n = 4. Dann kann es gelegentlich
kurzzeitig vorkommen, daß ein Satellit in die Nähe der Ebene gerät, die
durch die übrigen Satelliten aufgespannt wird. Dann sind die
Gleichungssysteme (1) und (2) schlecht konditioniert und das
Iterationsverfahren liefert "Wald- und Wiesenwerte". Allerdings bewegen
sich die Satelliten bereits nach kurzer Zeit in ihren Umlaufebenen
wieder in eine deutliche 3D-Position und der Fehler ist beseitigt.
Um die Funktionsweise des beschriebenen Verfahrens für n = 4
auszuprobieren, kann ein Taschenrechner-Programm für den TI92Plus (TI98 bzw. TIVoyage sollten auch funktionieren) benutzt werden. Es arbeitet in zwei Schritten:
1. Berechnung der 6 Zeitdifferenzen zu einer beliebig vorgegebenen
Navpos (x,y,z), die Werte x,y und z mit Benennung (z.B. km) eingeben.
2. Vorgabe eines Schätzwertes (x,y,z) für Navpos (Benennung nicht
vergessen) und Start der Iteration. Nach wenigen Schritten sollte
i.allg. der ursprünglich gegebene Positionswert wieder erreicht sein.
Schritt 2 kann mehrmals zu einem Vorgabewert wiederholt werden, um
die Konvergenzgeschwindigkeit bei unterschiedlichen Schätzwerten zu
beurteilen.
Da das Programm im Quelltext vorliegt, können auch andere Bedingungen variiert werden, z.B. die Position der Satelliten.